Question

設(shè)圓O：x²+y²=3，直線l：x+3y-6=0，，點(diǎn)P（x₀，y₀）∈l若在圓O上存在點(diǎn)Q，使得∠OPQ=60°，則x₀的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：圓O外有一點(diǎn)P，圓上有一動(dòng)點(diǎn)Q，∠OPQ在PQ與圓相切時(shí)取得最大值．如果OP變長(zhǎng)，那么∠OPQ可以獲得的最大值將變�。�因?yàn)閟in∠OPQ=

Q0

PO

，QO為定值，即半徑，PO變大，則sin∠OPQ變小，由于∠OPQ∈（0，

π

2

），所以∠OPQ也隨之變�。�可以得知，當(dāng)∠OPQ=60，且PQ與圓相切時(shí)，PO=2，而當(dāng)PO＞2時(shí)，Q在圓上任意移動(dòng)，∠OPQ＜60恒成立．因此，P的取值范圍就是PO≤2，即滿(mǎn)足PO≤2，就能保證一定存在點(diǎn)Q，使得∠OPQ=60°，否則，這樣的點(diǎn)Q是不存在的．

解答：解：由分析可得：PO²=x₀²+y₀²
又因?yàn)镻在直線L上，所以x₀=-（3y₀-6）
故10y₀²-36y₀+3≤4
解得

8

5

≤y0≤20≤x0≤

6

5

即x₀的取值范圍是[0，

6

5

]，
故答案為[0，

6

5

]

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，利用幾何知識(shí)，判斷出PO≤2，從而得到不等式求出參數(shù)的取值范圍．