Question

（1）如圖，設(shè)圓O：x²+y²=a²的兩條互相垂直的直徑為AB、CD，E在弧BD上，AE交CD于K，CE交AB于L，求證：(

EK

AK

)2+(

EL

CL

)2為定值
（2）將橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與x²+y²=a²相類比，請(qǐng)寫出與（1）類似的命題，并證明你的結(jié)論．
（3）如圖，若AB、CD是過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中心的兩條直線，且直線AB、CD的斜率積kAB•kCD=-

b2

a2

，點(diǎn)E是橢圓上異于A、C的任意一點(diǎn)，AE交直線CD于K，CE交直線AB于L，求證：(

EK

AK

)2+(

EL

CL

)2為定值．

Answer 1

分析：（1）如圖所示，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F點(diǎn)．由于CD⊥AB，可得EF∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得

EK

AK

=

FO

OA

，

EL

CL

=

EF

CO

，再利用EF²+FO²=OE²=a²，即可證明為定值．
（2）命題：如圖，設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓的長(zhǎng)軸、短軸分別為AB、CD，E在橢圓的BD部分上，AE交CD于K，CE交AB于L，求證：(

EK

AK

)2+(

EL

CL

)2為定值．與（1）類比：再利用點(diǎn)E滿足橢圓的方程即可證明為定值．
（3）如圖所示，過點(diǎn)E分別作EF∥CD交AB與點(diǎn)F，EM∥AB交直線CD于點(diǎn)M．
可得

EK

KA

=

FO

AO

，

EL

CL

=

MO

CO

．設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），D（-x₂，-y₂），B（-x₁，-y₁）．E（x₀，y₀）．
則

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1．設(shè)直線AB的方程為y=kx（k≠0），則直線CD的方程為y=-

b2

a2k

x．直線EF的方程為y-y0=-

b2

a2k

(x-x0)，直線EM的方程為y-y₀=k（x-x₀）．
聯(lián)立方程可解得x_F．x_M．

x

2 1

，

x

2 2

．可得(

EK

AK

)2=(

FO

AO

)2=

x 2 F + y 2 F

x12+ y 2 1

=

x 2 F

x 2 1

．同理(

EL

CL

)2=

x 2 M

x 2 2

．
于是(

EK

AK

)2+(

EL

CL

)2=

x 2 F

x 2 1

+

x 2 M

x 2 2

=

x 2 F x 2 2 + x 2 M x 2 1

x 2 1 x 2 2

，代入計(jì)算即可．

解答：解：（1）如圖所示，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F點(diǎn)，
∵CD⊥AB，∴EF∥CD，
∴

EK

AK

=

FO

OA

，

EL

CL

=

EF

CO

，
又EF²+FO²=OE²=a²，
∴(

EK

AK

)2+(

EL

CL

)2=(

FO

OA

)2+(

EF

CO

)2=

FO2+EF2

a2

=

a2

a2

=1．為定值．
（2）如圖，設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓的長(zhǎng)軸、短軸分別為AB、CD，E在橢圓的BD部分上，AE交CD于K，CE交AB于L，求證：(

EK

AK

)2+(

EL

CL

)2為定值．
證明：過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F點(diǎn)，
∵CD⊥AB，∴EF∥CD，
∴

EK

AK

=

FO

OA

，

EL

CL

=

EF

CO

，
∴(

EK

AK

)2+(

EL

CL

)2=(

FO

OA

)2+(

EF

CO

)2=

FO2

a2

+

EF2

b2

=1．為定值．
（3）如圖所示，
過點(diǎn)E分別作EF∥CD交AB與點(diǎn)F，EM∥AB交直線CD于點(diǎn)M．
∴

EK

KA

=

FO

AO

，

EL

CL

=

MO

CO

．
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），D（-x₂，-y₂），B（-x₁，-y₁）．E（x₀，y₀）．
則

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1．
設(shè)直線AB的方程為y=kx（k≠0），則直線CD的方程為y=-

b2

a2k

x．
直線EF的方程為y-y0=-

b2

a2k

(x-x0)，直線EM的方程為y-y₀=k（x-x₀）．
聯(lián)立

y=kx y-y0=- b2 a2k (x-x0)

解得x_F=

a2ky0+b2x0

a2k2+b2

．
聯(lián)立

y=- b2 a2k x y-y0=k(x-x0)

，解得x_M=

a2k(kx0-y0)

a2k2+b2

．
聯(lián)立

y=kx b2x2+a2y2=a2b2

解得

x

2 1

=

a2b2

a2k2+b2

．
聯(lián)立

y=- b2 a2k x b2x2+a2y2=a2b2

，解得

x

2 2

=

a4k2

a2k2+b2

．
∴(

EK

AK

)2=(

FO

AO

)2=

x 2 F + y 2 F

x12+ y 2 1

=

x 2 F

x 2 1

．
同理(

EL

CL

)2=

x 2 M

x 2 2

．
∴(

EK

AK

)2+(

EL

CL

)2=

x 2 F

x 2 1

+

x 2 M

x 2 2

=

x 2 F x 2 2 + x 2 M x 2 1

x 2 1 x 2 2

=

( a2ky0+b2x0 a2k2+b2 )2• a4k2 a2k2+b2 +( a2k(kx0-y0) a2k2+b2 )2• a2b2 a2k2+ b2

a2b2 a2k2+b2 • a4k2 a2k2+b2

=

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1．為定值．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、直線與直線相交問題、直線與橢圓相交問題、問題轉(zhuǎn)化方法等是解題的關(guān)鍵．本題同時(shí)考查了較強(qiáng)的計(jì)算能力、類比推理能力．