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        1. 【題目】已知函數(shù)f(x)=cosx+ax2﹣1,a∈R.
          (1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)f(x)在 處的切線方程;
          (2)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在[﹣π,π]上的最大值和最小值;
          (3)若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒有f(x)≥0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

          【答案】
          (1)解:a=0時(shí),f(x)=cosx﹣1,f′(x)=﹣sinx,

          ∴f′( )=﹣1,f( )=﹣1,

          故切線方程是:y+1=﹣(x﹣ ),

          即x+y+ +1=0


          (2)解:當(dāng)a=1時(shí),f(x)=cosx+x2﹣1,f(﹣x)=f(x),是偶函數(shù),

          函數(shù)f(x)在[﹣π,π]上的最大值及最小值,

          即為f(x)在[0,π]上的最大值及最小值,

          此時(shí)f(x)=cosx+x2﹣1,導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2x﹣sinx,0≤x≤π,

          令g(x)=2x﹣sinx,導(dǎo)數(shù)為2﹣cosx>0,即g(x)遞增,

          即有g(shù)(x)≥g(0)=0,則f′(x)≥0,即f(x)在[0,π]遞增,

          x=0時(shí),取得最小值0,x=π時(shí),取得最大值π2﹣2,

          則有函數(shù)f(x)在[﹣π,π]上的最大值π2﹣2,

          最小值為0


          (3)解:對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒有f(x)≥0,即有cosx+ax2﹣1≥0,

          即ax2≥1﹣cosx≥0,顯然a≥0,

          x=0時(shí),顯然成立;由偶函數(shù)的性質(zhì),只要考慮x>0的情況.

          當(dāng)x>0時(shí),a≥ = ,即為2a≥( 2,

          由x>0,則 =t>0,考慮sint﹣t的導(dǎo)數(shù)為cost﹣1≤0,

          即sint﹣t遞減,即有sint﹣t<0,即sint<t,

          則有 <1,故( 2<1,

          即有2a≥1,解得a≥

          則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[ ,+∞).


          【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算f( ),f′( )的值,代入切線方程整理即可;(2)當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)在[﹣π,π]上的最大值及最小值,即為f(x)在[0,π]上的最大值及最小值,求出導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)性,即可得到最值;(3)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒有f(x)≥0,即有cosx+ax2﹣1≥0,即ax2≥1﹣cosx≥0,顯然a≥0,運(yùn)用參數(shù)分離和二倍角公式可得2a≥( 2 , 求出右邊函數(shù)的范圍,即可得到a的范圍.
          【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+4[sin(θ+ )]x﹣2,θ∈[0,2π]].
          (1)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),求tanθ的值;
          (2)若f(x)在[﹣ ,1]上是單調(diào)函數(shù),求θ的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得 M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°,C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,則山高M(jìn)N=m.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知命題p:函數(shù) 在(﹣∞,+∞)上有極值,命題q:雙曲線 的離心率e∈(1,2).若p∨q是真命題,p∧q是假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系,在某城市的某校高中生中,從男生中隨機(jī)抽取了70人,從女生中隨機(jī)抽取了50人,男生中喜歡數(shù)學(xué)課程的占,女生中喜歡數(shù)學(xué)課程的占,得到如下列聯(lián)表.

          喜歡數(shù)學(xué)課程

          不喜歡數(shù)學(xué)課程

          合計(jì)

          男生

          女生

          合計(jì)

          (1)請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整;試判斷能否有90%的把握認(rèn)為喜歡數(shù)學(xué)課程與否與性別有關(guān);

          (2)從不喜歡數(shù)學(xué)課程的學(xué)生中采用分層抽樣的方法,隨機(jī)抽取6人,現(xiàn)從6人中隨機(jī)抽取2人,求抽取的學(xué)生中至少有1名是女生的概率..

          附:,其中.

          0.150

          0.100

          0.050

          0.025

          0.010

          0.005

          0.001

          2.072

          2.706

          3.841

          5.024

          6.635

          7.879

          10.828

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】設(shè)圓上的點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線x+2y=0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上,且與直線x﹣y+1=0相交的弦長(zhǎng)為2 ,求圓的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C (ab0)的離心率為且過點(diǎn)(1, )過橢圓C的左頂點(diǎn)A作直線交橢圓C于另一點(diǎn)P,交直線lxm(ma)于點(diǎn)M.已知點(diǎn)B(1,0),直線PBl于點(diǎn)N

          (Ⅰ)求橢圓C的方程;

          (Ⅱ)若MB是線段PN的垂直平分線,求實(shí)數(shù)m的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】設(shè)f(x)=﹣ x3+ x2+2ax.
          (1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在[1,4]上的最大值和最小值.
          (2)若f (x)在( ,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,左頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,直線與橢圓交于, 兩點(diǎn),直線, 分別與軸交于點(diǎn)

          (Ⅰ)求橢圓的方程;

          (Ⅱ)以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)?若經(jīng)過,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請(qǐng)說明理由.

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