Question

設(shè){a_n}為等差數(shù)列，從{a₁，a₂，a₃，…，a₁₀}中任取4個不同的數(shù)，使這4個數(shù)仍成等差數(shù)列，則這樣的等差數(shù)列最多有

24

個．

Answer 1

分析：設(shè)數(shù)列的公差為d，分取出4個數(shù)的公差為d時，根據(jù)第一、二、三、四項；二、三、四、五項；…；第七、八、九、十項滿足題意，共7組；當公差為2d時，同理得到4組；公差為3d時，只有1組，綜上，共有12組；當公差變?yōu)?d，-2d及-3d時，也有12組，即可得到滿足題意的等差數(shù)列最多有24個．

解答：解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
當取出4個數(shù)的公差為d時，有下列情況：
a₁，a₂，a₃，a₄；a₂，a₃，a₄，a₅；…；a₇，a₈，a₉，a₁₀，共7組；
當取出4個數(shù)的公差為2d時，有下列情況：
a₁，a₃，a₅，a₇；a₂，a₄，a₆，a₈；a₃，a₅，a₇，a₉；a₄，a₆，a₈，a₁₀，共4組；
當取出4個數(shù)的公差為3d時，有下列情況：
a₁，a₄，a₇，a₁₀，共1組，
綜上，共有12種情況；
同理，當取出4個數(shù)的公差分別為-d，-2d，-3d時，共有12種情況，
則這樣的等差數(shù)列最多有24個．
故答案為：24

點評：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，利用了分類討論的思想，熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．