Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-（1+a）x²+4ax+24a，其中常數(shù)a≥1
（I）討論f（x）的單調(diào)性；
（II）是否存在實(shí)數(shù)a≥1，使得對任意x≥0，都有f（x）＞0成立？若存在，求出a的所有可能取值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，本題需討論a與1的關(guān)系；（II）先將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的最小值大于零問題，再利用（I）中結(jié)論列不等式求a的范圍即可

解答：解：（I）由題意可知f′（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，此時(shí)f′（x）=（x-2）²≥0，所以原函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，此時(shí)由f′（x）＞0可得x＞2a或x＜2
所以原函數(shù)f（x）在（-∞，2）和（2a，+∞）上為增函數(shù)，在（2，2a）上為減函數(shù)
綜合可知當(dāng)a=1時(shí)原函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，當(dāng)a＞1時(shí)原函數(shù)f（x）在（-∞，2）和（2a，+∞）上為增函數(shù)，在（2，2a）上為減函數(shù)
（II）存在．由題意可知只要f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值大于0即可．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，所以只需f（0）＞0即可，顯然符合
（2）當(dāng)a＞1時(shí)因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[0，2）和（2a，+∞）上為增函數(shù)，在（2，2a）上為減函數(shù)
所以此時(shí)只需

f(0)＞0 f(2a)＞0

代入解得0＜a＜6
所以1＜a＜6
綜合（1）（2）可知1≤a＜6

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，不等式恒成立問題的解法，分類討論的思想方法