【題目】如圖，矩形
所在的平面垂直于平面
，
為
的中點，
，
，
，
.
（1）求異面直線
與
所成角的余弦值；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）建立空間直角坐標系，根據(jù)
即可求解異面直線所成角的余弦值；
（2）分別求出兩個半平面的法向量，利用法向量的夾角求得二面角的余弦值，再求出正弦值.
矩形
所在的平面垂直于平面
，
為
的中點，在平面內(nèi)過作的垂線交
于
，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得
平面，
同理在平面內(nèi)過作的垂線交
于
，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得
平面，所以
兩兩互相垂直，
如圖所示，建立空間直角坐標系，
因為
，所以
，
易得
，
（1）由上述點坐標可知，，所以直線
與
所成角的余弦值
；
（2）因為
，設平面
的法向量為
，則
解得
，取
，可得
，
設平面
的法向量為
，則
解得
，取
，可得
，
設二面角
的平面角為
，則
，
所以
.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)）．
（1）求與的交點的直角坐標；
（2）求上的點到直線的距離的最大值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】選修4—4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xOy中，設傾斜角為α的直線l：
（t為參數(shù)）與曲線C：
（θ為參數(shù)）相交于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）若α＝
，求線段AB中點M的坐標；
（Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜OP｜
，其中P（2，
），求直線l的斜率．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如表：
AQI |
|
|
|
|
|
|
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 重度污染 |
天數(shù) | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 10 |
（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；
（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為
，假設該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為
.9月每天的空氣質(zhì)量對應的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.
（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為X元，求X的分布列；
（ii）試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望是否會超過2.88萬元？說明你的理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
， 
．
（Ⅰ）當
時，求曲線
在
處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)
在
上的最小值；
（Ⅲ）若函數(shù)
，當
時， 
的最大值為
，求證： 
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在邊長為8正方形
中，點
為
的中點，
是
上一點，且
，若對于常數(shù)
，在正方形的邊上恰有
個不同的點
，使得
，則實數(shù)的取值范圍為______.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】從某學校高三年級共1000名男生中隨機抽取50人測量身高.據(jù)測量，被測學生身高全部介于155cm到195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組
，第二組
，…，第八組
.下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.其中第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列.
（1）求第六組、第七組的頻率，并估計高三年級全體男生身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)；
（2）學校決定讓這五十人在運動會上組成一個高旗隊，在這五十人中要選身高在180cm以上（含180cm）的三人作為隊長，記X為身高在
的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知點M，N分別是橢圓C：
（
）的左頂點和上頂點，F為其右焦點，
，橢圓的離心率為
.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設不過原點O的直線
與橢圓C相交于A，B兩點，若直線OA，AB，OB的斜率成等比數(shù)列，求
面積的取值范圍.
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