Question

【題目】已知AB為半圓O的直徑，AB=4，C為半圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作半圓的切線(xiàn)CD，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CD于D，交半圓于點(diǎn)E，DE=1．
（Ⅰ）求證：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接OC，因?yàn)镺A=OC，所以∠OAC=∠OCA，
因?yàn)镃D為半圓的切線(xiàn)，所以O(shè)C⊥CD，
又因?yàn)锳D⊥CD，所以O(shè)C∥AD，
所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知=，∴BC=CE，
連接CE，因?yàn)锳BCE四點(diǎn)共圓，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，
所以，所以BC=2．

【解析】（Ⅰ）連接OC，因?yàn)镺A=OC，所以∠OAC=∠OCA，再證明OC∥AD，即可證得AC平分∠BAD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知= ， 從而B(niǎo)C=CE，利用ABCE四點(diǎn)共圓，可得∠B=∠CED，從而有 ， 故可求BC的長(zhǎng)．