Question

關(guān)于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0，給出下列四個(gè)命題：
①存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；
②存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；
③存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；
④存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；
其中假命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：將方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的問(wèn)題，畫(huà)出可得．

解答：解：關(guān)于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0可化為（x²-1）²-（x²-1）+k=0（x≥1或x≤-1）（1）
或（x²-1）²+（x²-1）+k=0（-1＜x＜1）（2）
當(dāng)k=-2時(shí)，方程（1）的解為±

3

，方程（2）無(wú)解，原方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根
當(dāng)k=

1

4

時(shí)，方程（1）有兩個(gè)不同的實(shí)根±

6

2

，方程（2）有兩個(gè)不同的實(shí)根±

2

2

，即原方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根
當(dāng)k=0時(shí)，方程（1）的解為-1，+1，±

2

，方程（2）的解為x=0，原方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根
當(dāng)k=

2

9

時(shí)，方程（1）的解為±

15

3

，±

2 3

3

，方程（2）的解為±

3

3

，±

6

3

，即原方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想．