Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)．

（1）求圓的方程；

（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若圓在，兩點(diǎn)處的切線互相垂直，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）和．

【解析】

（1）方法一、求得拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)，設(shè)出圓的一般式方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)，解方程組可得D，E，F，即可得到所求圓方程；方法二、由拋物線方程與圓的一般式方程，可令y＝0，可得D，F，再由拋物線與y軸的交點(diǎn)，可得E，即可得到所求圓方程；

（2）求圓C的圓心和半徑，圓C在A，B兩點(diǎn)處的切線互相垂直，可得∠ACB，求得C到直線l的距離，討論直線l的斜率是否存在，由點(diǎn)到直線的距離公式，計算可得所求直線方程．

（1）方法一：拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)坐標(biāo)為，，．

設(shè)圓的方程為，

則 , 解得

所以圓的方程為．

方法二：設(shè)圓的方程為．

令，得．

因?yàn)閳A經(jīng)過拋物線與軸的交點(diǎn)，

所以與方程同解，

所以，．

因此圓．

因?yàn)閽佄锞�與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

又所以點(diǎn)也在圓上，所以，解得．

所以圓的方程為．

（2）由（1）可得，圓：，

故圓心，半徑．

因?yàn)閳A在，兩點(diǎn)處的切線互相垂直，所以．

所以到直線的距離．

① 當(dāng)直線的斜率不存在時， ，符合題意；

② 當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，即，

所以，解得，

所以直線，即．

綜上，所求直線的方程為和．

方法三：①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

，，將直線的方程代入圓的方程得：

，

即

，．

因?yàn)閳A在點(diǎn)，兩點(diǎn)處的切線互相垂直，所以，

所以，即，

所以，

即，

即，

，

即，解得，所以直線：，

即．

②當(dāng)直線的斜率不存在時，：，符合題意；

綜上，所求直線的方程為和．