【題目】如圖，正四棱柱
的底面邊長(zhǎng)為
，側(cè)棱長(zhǎng)為1，求：
（1）直線
與直線
所成角的余弦值；
（2）平面
與平面
所成二面角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）以 {
，
，
} 為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，利用向量法能求出直線A1C與直線AD1所成角的余弦值；
（2）求出平面D1AC的一個(gè)法向量和平面ABB1A1的一個(gè)法向量，利用向量法能求出平面D1AC與平面ABB1A1所成二面角的正弦值．
(1)如圖，正四棱柱
的底面邊長(zhǎng)為
，側(cè)棱長(zhǎng)為1，
故以 
為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系
．
則
，
，
，
， 
．
（1）因?yàn)?
，
，
所以
，
，
，
從而
．
又異面直線所成的角的范圍是
，
所以直線
與直線
所成角的余弦值為．
（2）
，
，
設(shè)平面
的一個(gè)法向量為
，
則
從而
即
取
，可得
，
，即
．
在正四棱柱中，
平面
，
又
，
所以
為平面的一個(gè)法向量．
因?yàn)?/span>
，且
，
，
所以
．
因此平面與平面所成二面角的正弦值為．
數(shù)學(xué)奧賽暑假天天練南京大學(xué)出版社系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知點(diǎn)
在橢圓
上， 
為橢圓
的右焦點(diǎn)， 
分別為橢圓
的左，右兩個(gè)頂點(diǎn).若過(guò)點(diǎn)
且斜率不為0的直線
與橢圓
交于
兩點(diǎn)，且線段
的斜率之積為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知直線
與
相交于點(diǎn)
，證明： 
三點(diǎn)共線.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，已知橢圓
經(jīng)過(guò)點(diǎn)
，其離心率為
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知
是橢圓上一點(diǎn)，
，
為橢圓的焦點(diǎn)，且
，求點(diǎn)到
軸的距離．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng). 為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為
）進(jìn)行統(tǒng)計(jì). 按照[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50,60），[90,100]的數(shù)據(jù)）.
（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的
，
的值；
（2）在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)是80分以上（含80分）的同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)到市政廣場(chǎng)參加環(huán)保知識(shí)宣傳的志愿者活動(dòng)，設(shè)
表示所抽取的3名同學(xué)中得分在[80,90）的學(xué)生人數(shù)，求
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，已知橢圓
經(jīng)過(guò)點(diǎn)
，其離心率為
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知
是橢圓上一點(diǎn)，
，
為橢圓的焦點(diǎn)，且
，求點(diǎn)到
軸的距離．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，已知圓
經(jīng)過(guò)拋物線
與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)．
（1）求圓的方程；
（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)
的直線
與圓相交于
，
兩點(diǎn)，若圓在，兩點(diǎn)處的切線互相垂直，求直線的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系
中，
，
分別為橢圓
的左、右焦點(diǎn)．動(dòng)直線
過(guò)點(diǎn)，且與橢圓
相交于
，
兩點(diǎn)（直線與
軸不重合）．
（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為
，求點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)
，設(shè)直線
，
的斜率分別為
，
，求證：
；
（3）求
面積最大時(shí)的直線的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，若過(guò)點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線
相切，求t的取值范圍__________。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，點(diǎn)D，E，G分別是邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，連接DE，連接AG交DE于點(diǎn)
現(xiàn)將
沿DE折疊至
的位置，使得平面
平面BCED，連接A1G，EG．
證明：DE∥平面A1BC
求點(diǎn)B到平面A1EG的距離．
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