Question

已知函數(shù)，判斷下列三個命題的真假：
①f（x）＜1；
②x=0為f（x）的一個極大值點；
③當(dāng)x∈（0，2π）時，f（x）沒有極值點．其中真命題的個數(shù)是

1. A.
   0個
2. B.
   1個
3. C.
   2個
4. D.
   3個

Answer 1

B
分析：對于①針對函數(shù)的性質(zhì)，只須考慮當(dāng)0＜x＜時的函數(shù)值即可，再利用單位圓中的三角函數(shù)線，通過面積關(guān)系證明sinx＜x；
對于②③，利用商的導(dǎo)數(shù)運算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．
解答：①針對函數(shù)的性質(zhì)，只須考慮當(dāng)0＜x＜時的函數(shù)值即可，
如圖，在單位圓中，有sinx=MA，
連接AN，則S_△OAN＜S_扇形OAN，
設(shè)的長為l，則x==1，
∴ON•MA＜ON•x，即MA＜x，
又sinx=MA，
∴sinx＜x，∴，故①正確；
②因為x為0時分母無意義，所以x=0不能為f（x）的一個極大值點，故②錯誤；
③由于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，
當(dāng)x時，xcosx-sinx＜0，即f'（x）＜0，
當(dāng)時，xcosx-sinx＞0，即f'（x）＞0，則函數(shù)在時取得極值，故③錯誤．
故答案選 B．
點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，比較綜合的考查了三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的一些性質(zhì)，我們可以根據(jù)三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的常用結(jié)論對三個結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，可以得到正確的結(jié)論．