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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面.四邊形為正方形,且的中點,的中點.

          (1)求證:平面;

          (2)求證:平面.

          【答案】(1)見解析(2)見解析

          【證明】:(1)因為四邊形ABCD為正方形,所以CD⊥AD.

          又平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,

          所以CD⊥平面SAD.

          (2)取SC的中點R,連接QR,DR.

          由題意知,PD∥BC且PD=BC.

          在△SBC中,Q為SB的中點,R為SC的中點,所以QR∥BC且QR=BC.

          所以QR∥PD且QR=PD,則四邊形PDRQ為平行四邊形,所以PQ∥DR.

          又PQ平面SCD,DR平面SCD,

          所以PQ∥平面SCD.

          【解析】

          分析:(Ⅰ)證明CD⊥AD,然后證明CD⊥平面SAD.
          (Ⅱ)取SC的中點R,連QR,DR.推出PD=BC,QR∥BCQR=BC.然后證明四邊形PDRQ為平行四邊形,即可證明PQ∥平面SCD.

          詳解:

          (1)因為四邊形ABCD為正方形,所以CD⊥AD.

          又平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,

          所以CD⊥平面SAD.

          (2)取SC的中點R,連接QR,DR.

          由題意知,PD∥BC且PD=BC.

          在△SBC中,Q為SB的中點,R為SC的中點,所以QR∥BC且QR=BC.

          所以QR∥PD且QR=PD,則四邊形PDRQ為平行四邊形,所以PQ∥DR.

          又PQ平面SCD,DR平面SCD,

          所以PQ∥平面SCD.

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