Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（ax﹣1）（ a＞0，a≠1 ）
（1）討論函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，解關(guān)于x的不等式：f（x）＜f（1）；
（3）當(dāng)a=2時(shí)，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[1，3]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由ax﹣1＞0，得ax＞1．

當(dāng)a＞1時(shí)，x＞0；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0．

所以f（x）的定義域是當(dāng)a＞1時(shí)，x∈（0，+∞）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x∈（﹣∞，0）．

（2）解：當(dāng)a＞1時(shí)，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

則ax1＜ax2，所以ax1﹣1＜ax2﹣1．

因?yàn)閍＞1，所以loga（ax1﹣1）＜loga（ax2﹣1），即f（x1）＜f（x2）

故當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

∵f（x）＜f（1）；

∴ax﹣1＜a﹣1，

∵a＞1，∴x＜1

（3）解：∵令g（x）=f（x）﹣log2（1+2x）=log2（1﹣ 在[1，3]上是單調(diào)增函數(shù)，

∴g（x）min=﹣log23，

∵m＜g（x），

∴m＜﹣log23

【解析】1、本題考查的是對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域以及指數(shù)不等式的解法，當(dāng)a＞1時(shí)，x＞0；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0．
2、本題考查的是對(duì)數(shù)不等式的解法因?yàn)閍＞1，所以loga（ax1﹣1）＜loga（ax2﹣1），即f（x1）＜f（x2），由對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性可得

f（x）＜f（1）；ax﹣1＜a﹣1，a＞1，∴x＜1。
3、本題考查的是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，由g（x）=f（x）﹣log2（1+2x）=log2（1﹣ ) 在[1，3]上是單調(diào)增函數(shù),g（x）min=﹣log23，m＜g（x），m＜﹣log23.

【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)(a0=1, 即x=0時(shí)，y=1，圖象都經(jīng)過(guò)(0，1)點(diǎn);ax=a，即x=1時(shí)，y等于底數(shù)a;在0<a<1時(shí):x<0時(shí)，ax>1,x>0時(shí)，0<ax<1;在a>1時(shí):x<0時(shí),0<ax<1,x>0時(shí)，ax>1)．