Question

【題目】在平面直角坐標系中，動直線交拋物線于A，B兩點.

（1）若，證明直線過定點，并求出該定點；

（2）點M為的中點，過點M作與y軸垂直的直線交拋物線于C點；點N為的中點，過點N作與y軸垂直的直線交拋物線于點P.設△的面積，△的面積為.

（i）若過定點，求使取最小值時，直線的方程；

（ii）求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；定點（2）（i）（ii）

【解析】

（1）設直線的方程，并代入拋物線方程，利用韋達定理和可解決；

（2）（i）得到、的坐標，得到，進而得到，再根據二次函數可求得最小值；（ii）求出，求出代入即可得到結果.

（1）證明：依題意可設直線的方程為，

代入消去x得：，

，即，

設，，則，，

因為，所以，

又，，所以，故，（已舍去）

所以，得，

因此直線的方程為，該直線過定點.

（2）（i）因為過定點，所以由（1）得，即，

恒成立，，，

由題知得，，

所以，

所以，

因為，且時等號成立，

所以，

當取到最小值時，，，

直線的方程為，即.

（ii）依題知可得，，

所以，

由（2）（i）可知（此處可以理解為A，B兩點的縱向高度差）

同理可得，

所以.