【題目】橢圓
的左、右焦點(diǎn)分別為
，點(diǎn)
在橢圓上，直線
與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為
.
（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為
，且
，求橢圓的方程；
（2）設(shè)
，
，求證：
為定值.
【答案】（1）
；（2）定值為
，證明見解析.
【解析】
（1）根據(jù)題設(shè)條件可直接求出
，再根據(jù)
在橢圓上求出
后可得橢圓的方程.
（2）設(shè)
，
，
，先用諸點(diǎn)坐標(biāo)表示
、
，再聯(lián)立直線方程和橢圓方程后利用韋達(dá)定理得到
、
與
的關(guān)系式，最后化簡后可得定值.我們也可以利用橢圓的幾何性質(zhì)來證明為定值.
（1）
，所以橢圓方程為.
（2）法一：坐標(biāo)法
設(shè)，
當(dāng)
時(shí)，
.
當(dāng)
時(shí)，
，
，
其中：
，
從而
.
由
得
，
同理
，從而
.
.
法二：焦半徑法
不妨設(shè)點(diǎn)在
軸上方，設(shè)
，
過作左準(zhǔn)線的垂線，垂足為
，過
作
的垂線，垂足為
，
由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可得
，
故
，
整理得到
，所以
.
同理，
，
，
，
所以
，
.
又
，
，
所以
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知點(diǎn)
、
分別在
軸、
軸上運(yùn)動(dòng)，
，點(diǎn)
在線段
上，且
.
（1）求點(diǎn)的軌跡
方程；
（2）動(dòng)直線
與交于不同的兩點(diǎn)
，
，且
的面積為
，其中
為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明
為定值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過搜索引擎，以每天搜索關(guān)鍵詞的次數(shù)為基礎(chǔ)所得到的統(tǒng)計(jì)指標(biāo).“搜索指數(shù)”越大，表示網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索次數(shù)越多，對該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度也越高.下圖是2019年9月到2020年2月這半年中，某個(gè)關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢圖.
根據(jù)該走勢圖，下列結(jié)論不正確的是（ ）.
A.這半年中，網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度與時(shí)間具有比較明顯的線性相關(guān)性
B.2019年10月網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢圖具有較好的對稱性，與正態(tài)曲線相近，故當(dāng)月搜索指數(shù)的平均值約為29000
C.從網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看，2019年10月的方差小于11月的方差
D.從網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看，2019年12月的平均值大于2020年1月的平均值
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩、防護(hù)服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會(huì)上贏得一片贊譽(yù)．我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時(shí)．狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量，該廠質(zhì)檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：
，
，
，
，
，得到如下頻率分布直方圖．
（1）規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級口罩．現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8個(gè)口罩，再從中抽取3個(gè)，記其中一級口罩個(gè)數(shù)為
，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）在2020年“五一”勞動(dòng)節(jié)前，甲，乙兩人計(jì)劃同時(shí)在該型號口罩的某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上分別參加
、
兩店各一個(gè)訂單“秒殺”搶購，其中每個(gè)訂單由
個(gè)該型號口罩構(gòu)成．假定甲、乙兩人在、兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為
，
，記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數(shù)量、口罩總數(shù)量分別為，
，
①求的分布列及數(shù)學(xué)期望
；
②求當(dāng)的數(shù)學(xué)期望
取最大值時(shí)正整數(shù)
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
過點(diǎn)
，且離心率
。
（1）求橢圓方程；
（2）若直線
與橢圓交于不同的兩點(diǎn)
，且線段
的垂直平分線過定點(diǎn)
，求
的取值范圍。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】己知點(diǎn)A是拋物線
的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線的焦點(diǎn)，P在拋物線上且滿足
，當(dāng)
取最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】正方體
中，
是棱
的中點(diǎn)，
是側(cè)面
上的動(dòng)點(diǎn)，且
平面
，記
與的軌跡構(gòu)成的平面為
．
①
，使得
；
②直線
與直線
所成角的正切值的取值范圍是
；
③與平面所成銳二面角的正切值為
；
④正方體的各個(gè)側(cè)面中，與所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個(gè)．
其中正確命題的序號是________．（寫出所有正確命題的序號）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】近幾年，電商行業(yè)的蓬勃發(fā)展帶動(dòng)了快遞業(yè)的迅速增長，快遞公司攬收價(jià)格一般是采用“首重+續(xù)重”的計(jì)價(jià)方式.首重是指最低的計(jì)費(fèi)重量，續(xù)重是指超過首重部分的計(jì)費(fèi)重量，不滿一公斤按一公斤計(jì)費(fèi).某快遞網(wǎng)點(diǎn)將快件的攬收價(jià)格定為首重（不超過一公斤）8元，續(xù)重2元/公斤（例如，若一個(gè)快件的重量是0.6公斤，按8元計(jì)費(fèi)；若一個(gè)快件的重量是1.4公斤，按
元
元
元計(jì)費(fèi)）.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，得到該網(wǎng)點(diǎn)攬收快件重量的頻率分布直方圖如下圖所示
（1）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，將頻率視作概率，求該網(wǎng)點(diǎn)攬收快件的平均價(jià)格；
（2）為了獲得更大的利潤，該網(wǎng)點(diǎn)對“一天中收發(fā)一件快遞的平均成本
（單位：元）與當(dāng)天攬收的快遞件數(shù)
（單位：百件）
之間的關(guān)系”進(jìn)行調(diào)查研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：
每天攬收快遞件數(shù) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
每件快遞的平均成本 | 5.6 | 4.8 | 4.4 | 4.3 | 4.1 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，技術(shù)人員分別根據(jù)甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個(gè)回歸方程：
方程甲：
，方程乙：
.
①為了評價(jià)兩種模型的擬合效果，根據(jù)上表數(shù)據(jù)和相應(yīng)回歸方程，將以下表格填寫完整（結(jié)果保留一位小數(shù)），分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和
，
，并依此判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好（備注：
稱為相應(yīng)于點(diǎn)
的殘差，殘差平方和
；
每天攬收快遞件數(shù) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
每天快遞的平均成本 | 5.6 | 4.8 | 4.4 | 4.3 | 4.1 | |
模型甲 | 預(yù)報(bào)值 | 5.2 | 5.0 | 4.8 | ||
殘差 |
| 0.2 | 0.4 | |||
模型乙 | 預(yù)報(bào)值 | 5.5 | 4.8 | 4.5 | ||
預(yù)報(bào)值 |
| 0 | 0.1 | |||
②預(yù)計(jì)該網(wǎng)點(diǎn)今年6月25日（端午節(jié)）一天可以攬收1000件快遞，試根據(jù)①中確定的擬合效果較好的回歸模型估計(jì)該網(wǎng)點(diǎn)當(dāng)天的總利潤（總利潤=（平均價(jià)格-平均成本）×總件數(shù)）.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，動(dòng)直線
交拋物線
于A，B兩點(diǎn).
（1）若
，證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；
（2）點(diǎn)M為的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作與y軸垂直的直線交拋物線于C點(diǎn)；點(diǎn)N為
的中點(diǎn)，過點(diǎn)N作與y軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)P.設(shè)△
的面積
，△
的面積為
.
（i）若過定點(diǎn)
，求使取最小值時(shí)，直線的方程；
（ii）求
的值.
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