Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H為PC的中點，M為AH中點，PA=AC=2，BC=1．

（Ⅰ）求證：AH⊥平面PBC；

（Ⅱ）求PM與平面AHB成角的正弦值；

(Ⅲ)在線段PB上是否存在點N，使得MN∥平面ABC，若存在，請說明點N的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）（Ⅲ）點N是靠近B點的四等分點

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)線面垂直判定與性質(zhì)定理進(jìn)行論證，（Ⅱ）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，列方程組解得平面AHB的一個法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與線面角關(guān)系得結(jié)果，（Ⅲ）先設(shè)N坐標(biāo)，再根據(jù)與平面ABC的法向量的數(shù)量積為零解得結(jié)果.

（Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥BC，

又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

∵AH平面PAC，

∴BC⊥AH．

∵H為PC的中點，PA=AC，

∴AH⊥PC．

∵PC∩BC=C．

∴AH⊥平面PBC；

（Ⅱ）

由題意建立空間直角坐標(biāo)系．A（0，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），

P（0，0，2），H（0，1，1），M．

=（0，1，1），=（1，2，0），=．

設(shè)平面ABH的法向量為=（x，y，z），則，取=（2，-1，1）．

設(shè)PM與平面AHB成角為，

則sin====．

所以PM與平面AHB成角的正弦值為

（Ⅲ）假設(shè)在線段PB上存在點N，使得MN∥平面ABC．

設(shè)，=（1，2，-2），

∴．

∴==，

∵M(jìn)N∥平面ABC，平面ABC的法向量為=（0，0，2），

∴=-=0，解得．

∴點N是靠近B點的四等分點．