Question

如圖，過拋物線y²=2px（p＞0）上一定點(diǎn)P（x₀，y₀）（y₀＞0），作兩條直線分別交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（I）求該拋物線上縱坐標(biāo)為

p

2

的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離
（II）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，求

y1+y2

y0

的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù)．

Answer 1

分析：（I）把y=

p

2

代入拋物線方程求得x，進(jìn)而利用拋物線的方程推斷出準(zhǔn)線方程，最后根據(jù)拋物線的定義求得答案．
（II）設(shè)出直線PA，PB的斜率，把A，P點(diǎn)代入拋物線的方程相減后，表示出兩直線的斜率，利用其傾斜角互補(bǔ)推斷出
k_PA=-k_PB，求得三點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系式，同樣把把A，B點(diǎn)代入拋物線的方程相減后，表示出AB的斜率，將y₁+y₂=-2y₀代入求得結(jié)果為非零常數(shù)．

解答：解：（I）當(dāng)y=

p

2

時，x=

p

8

又拋物線y²=2px的準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

由拋物線定義得，所求距離為

p

8

-(-

p

2

)=

5p

8

（II）設(shè)直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB
由y₁²=2px₁，y₀²=2px₀
相減得（y₁-y₀）（y₁+y₀）=2p（x₁-x₀）
故kPA=

y1-y0

x1-x0

=

2p

y1+y0

(x1≠x0)
同理可得kPB=

2p

y2+y0

(x2≠x0)
由PA，PB傾斜角互補(bǔ)知k_PA=-k_PB
即

2p

y1+y0

=-

2p

y2+y0

所以y₁+y₂=-2y₀
故

y1+y2

y0

=-2
設(shè)直線AB的斜率為k_AB
由y₂²=2px₂，y₁²=2px₁
相減得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂-x₁）
所以kAB=

y2-y1

x2-x1

=

2p

y1+y2

(x1≠x2)
將y₁+y₂=-2y₀（y₀＞0）代入得kAB=

2p

y1+y2

=-

p

y0

，所以k_AB是非零常數(shù)

點(diǎn)評：本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力．