Question

方程恰有三個不相等的實數根，則

1. A.
   a∈∅（∅是空集）
2. B.
   a∈（5，9）
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：在同一坐標系里作出函數f（x）=sin（x）和g（x）=log_ax的圖象，討論當a＞1時圖象交點的個數，可得當a∈（5，7）時，兩圖象恰有三個公共點；當0＜a＜1時，同理可得在a∈（，）時，兩圖象恰有三個公共點．由此可得本題的正確答案．
解答：記f（x）=sin（x）和g（x）=log_ax，方程恰有三個不相等的實數根，
可以理解為函數f（x）的圖象g（x）恰有三個公共點．
作出兩個函數的圖象如下：

當a＞1時，在a=5的情況下，對數函數y=g（x）恰好經過函數三角y=f（x）的y軸右側的最大值點A（5，1），此時兩個圖象恰好有兩個公共點；而當在a=9的情況下，對數函數y=g（x）恰好經過函數三角y=f（x）的y軸右側的最大值點A（9，1），此時兩個圖象恰好有4個公共點；說明只有5＜a＜9時，兩個函數圖象的公共點的個數恰好為3個．
當0＜a＜1時，同樣的方法可得，在a∈（，）時，兩圖象恰有三個公共點．
故原方程恰有3個實數根時，
故選D
點評：本題以三角函數和對數函數為例，考查了函數零點與方程根的個數的討論等知識點，屬于中檔題．采用數形結合法，找圖象上的界點，從而找到實數a的臨界值，是解決本題的關鍵．