Question

方程sin

πx

2

=logax(a＞0且a≠1)恰有三個不相等的實數(shù)根，則（　　）

• A．a(chǎn)∈?（?是空集）
• B．a(chǎn)∈（5，9）
• C．a∈(

  1

  7

  ，

  1

  3

  )
• D．a∈(

  1

  7

  ，

  1

  3

  )∪(5，9)

Answer 1

分析：在同一坐標系里作出函數(shù)f（x）=sin（

π

2

x）和g（x）=log_ax的圖象，討論當a＞1時圖象交點的個數(shù)，可得當a∈（5，7）時，兩圖象恰有三個公共點；當0＜a＜1時，同理可得在a∈（

1

7

，

1

3

，）時，兩圖象恰有三個公共點．由此可得本題的正確答案．

解答：解：記f（x）=sin（

π

2

x）和g（x）=log_ax，方程sin

πx

2

=logax(a＞0且a≠1)恰有三個不相等的實數(shù)根，
可以理解為函數(shù)f（x）的圖象g（x）恰有三個公共點．
作出兩個函數(shù)的圖象如下：

當a＞1時，在a=5的情況下，對數(shù)函數(shù)y=g（x）恰好經(jīng)過函數(shù)三角y=f（x）的y軸右側(cè)的最大值點A（5，1），此時兩個圖象恰好有兩個公共點；而當在a=9的情況下，對數(shù)函數(shù)y=g（x）恰好經(jīng)過函數(shù)三角y=f（x）的y軸右側(cè)的最大值點A（9，1），此時兩個圖象恰好有4個公共點；說明只有5＜a＜9時，兩個函數(shù)圖象的公共點的個數(shù)恰好為3個．
當0＜a＜1時，同樣的方法可得，在a∈（

1

7

，

1

3

，）時，兩圖象恰有三個公共點．
故原方程恰有3個實數(shù)根時，a∈(

1

7

，

1

3

)∪(5，9)
故選D

點評：本題以三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)為例，考查了函數(shù)零點與方程根的個數(shù)的討論等知識點，屬于中檔題．采用數(shù)形結(jié)合法，找圖象上的界點，從而找到實數(shù)a的臨界值，是解決本題的關(guān)鍵．