Question

（本題滿分15分）如圖，點為圓形紙片內不同于圓心的定點，動點在圓周上，將紙片折起，使點與點重合，設折痕交線段于點.現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標系中，設圓：,記點的軌跡為曲線.
⑴證明曲線是橢圓，并寫出當時該橢圓的標準方程；
⑵設直線過點和橢圓的上頂點，點關于直線的對稱點為點，若橢圓的離心率，求點的縱坐標的取值范圍.

Answer 1

（本題滿分15分）
解：（1）連結NA, 由題意知，直線m是線段MA的中垂線，

∴NA="NM," 而圓C的半徑為    ……………………2分
∴NC+NA=NC+NM=CM=(常數(shù))
∴動點N到兩定點C, A的距離之和為常數(shù)，
所以，點N的軌跡是以定點C, A為焦點，長軸長為的橢圓  
……………………4分
當時，由于，所以所求橢圓E的方程為   
……………………6分
（2）橢圓E的方程為，其上頂點B
所以，直線的方程為，                  ……………………8分
記點關于直線的對稱點
則有， 解得：……………………11分；
由，得，                  ……………………12分
∴，令，因為則，
∴，∴，                    ……………………14分
所以，點的縱坐標的取值范圍是      ……………………15分

略