Question

已知向量

a

=（1，-3，2）和

b

=（-2，1，1），點(diǎn)A（-3，-1，4），B（-2，-2，2）．
（1）求|2

a

+

b

|；
（2）在直線AB上是否存在一點(diǎn)E，使

OE

⊥

b

（O為原點(diǎn)），若存在，求出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用向量的運(yùn)算法則及其模的計算公式即可得出；
（2）利用向量共線定理及其向量垂直于數(shù)量積得關(guān)系即可得出．

解答：解：（1）∵2

a

+

b

=2（1，-3，2）+（-2，1，1）=（0，-5，5），∴|2

a

+

b

|=

0+2×52

=5

2

；
（2）假設(shè)在直線AB上存在一點(diǎn)E，使

OE

⊥

b

（O為原點(diǎn)），則存在實(shí)數(shù)λ，使得

AE

=λ

AB

，
∴

OE

=

OA

+λ

AB

=（-3，-1，4）+λ（1，-1，-2）=（-3+λ，-1-λ，4-2λ），
∴

OE

•

b

=-2（-3+λ）+（-1-λ）+（4-2λ）=0，解得λ=

9

5

．
∴

OE

=(-

6

5

，-

14

5

，

2

5

)，即E(-

6

5

，-

14

5

，

2

5

)．
故在直線AB上存在一點(diǎn)E(-

6

5

，-

14

5

，

2

5

)，使

OE

⊥

b

（O為原點(diǎn)）．

點(diǎn)評：熟練掌握向量的運(yùn)算法則及其模的計算公式、向量共線定理及其向量垂直于數(shù)量積得關(guān)系是解題的關(guān)鍵．