Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=

1

2

，且a_n（a_n-1+a_n+1）=2a_n+la_n-1（n≥2），則a₂₀₁₃=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，由已知求出公差，得到其通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求得a_n，則答案可求．

解答： 解：由a_n（a_n-1+a_n+1）=2a_n+la_n-1（n≥2），得：
a_na_n-1+a_na_n+1=2a_n+1a_n-1，
即

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

．
∴

1

an+1

-

1

an

=

1

an

-

1

an-1

．
∵a₁=1，a₂=

1

2

，
∴數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，以

1

a2

-

1

a1

=2-1=1為公差的等差數(shù)列．
∴

1

an

=n，
則an=

1

n

．
∴a₂₀₁₃=

1

2013

．
故答案為：

1

2013

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，是中檔題．