Question

如圖O是△ABC內(nèi)的一點，

OA

+k•

OB

+t•

OC

=

O

．（k，t∈R，且t＞0）
（1）若O是△ABC的重心，求k，t的值；
（2）若|

OA|

=2，|

OC

|=1，∠AOB=120°，∠AOC=90°，

OA

•

OB

=-1，
求△BOC與△BAC的面積之比．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)O是△ABC的重心，易延長AO到E，使OE=AO，交BC于D，易得

OA

+

OB

+

OC

=

0

，進而根據(jù)平面向量的基本定理，得到k，t的值；
（2）由已知分別求出∠BOC和|

OB|

，代入到三角形面積公式，求出△BOC與△BAC的面積，可得答案．

解答： 解：若O是△ABC的重心，則延長AO到E，使OE=AO，交BC于D
則D為BC的中點
則

OE

=

OB

+

OC

=-

OA

．
∴

OA

+

OB

+

OC

=

0

即k=1，t=1
（2）∵|

OA|

=2，|

OC

|=1，∠AOB=120°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=150°，
又∵

OA

•

OB

=-1，即|

OA|

•|

OB

|cos120°=-|

OB|

=-1
∴|

OB|

=1
∴S_△BOC=

1

2

|

OB|

•|

OC

|sin150°=

1

4

S_△BAC=S_△BOC+S_△AOC+S_△AOB=

1

4

+

1

2

|

OA|

•|

OC

|sin90°+

1

2

|

OA|

•|

OB

|sin120°=

5+2 3

4

故△BOC與△BAC的面積之比為1：5+2

3

點評：本題考查的知識點是微量的數(shù)量積，三角形面積公式，重心的性質(zhì)，利用向量法，在求夾角和求距離時，速度快，精度高，是解答幾何問題常用的方法．