Question

【題目】已知直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且的面積為16（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求的方程.

（2）直線經(jīng)過的焦點(diǎn)且不與軸垂直，與交于，兩點(diǎn)，若線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，試問在軸上是否存在點(diǎn)，使為定值？若存在，求該定值及的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在,

【解析】

（1）將代入，得，即可表示出的面積，計(jì)算可得.

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與曲線方程，根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式計(jì)算出

，求出線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，則可用含，的式子表示，即可分析當(dāng)為何值是為定值.

解：（1）將代入，得，

所以的面積為.

因?yàn)?/span>，所以，

故的方程為.

（2）由題意設(shè)直線的方程為，

由得.

設(shè)，，則，

所以.

因?yàn)榫�段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為,

所以線段的垂直平分線的方程為,

令，得，所以的橫坐標(biāo)為，

設(shè)，則，

，

所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，為定值，且定值為2，故存在點(diǎn)，且的坐標(biāo)為.