Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(

2

，0)的距離與點(diǎn)P到定直線l：x=2

2

的距離之比為

2

2

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)M、N是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，若

EM

•

FN

=0，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，再根據(jù)定點(diǎn)F(

2

，0)的距離與點(diǎn)P到定直線l：x=2

2

的距離之比為

2

2

求得方程．
（2））先由點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，求得E的坐標(biāo)，再根據(jù)直線l的方程設(shè)M、N坐標(biāo)，然后由

EM

•

FN

=0，即6+y₁y₂=0．構(gòu)建|MN|=y1-y2=y1+

6

y1

，再利用基本不等式求得最小值．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），
依題意，有

(x- 2 )2+y2

|x-2 2 |

=

2

2

．
整理，得

x2

4

+

y2

2

=1．
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-

2

，0)．
∵M(jìn)、N是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，
∴可設(shè)M(2

2

，y1)，N(2

2

，y2)（不妨設(shè)y₁＞y₂）．
∵

EM

•

FN

=0，
∴(3

2

，y1)•(

2

，y2)=0．
即6+y₁y₂=0．即y2=-

6

y1

．
由于y₁＞y₂，則y₁＞0，y₂＜0．
∴|MN|=y1-y2=y1+

6

y1

≥2

y1• 6 y1

=2

6

．
當(dāng)且僅當(dāng)y1=

6

，y2=-

6

時(shí)，等號(hào)成立．
故|MN|的最小值為2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓、基本不等式等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力