Question

已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力.第一問，先將代入得到表達(dá)式，對求導(dǎo)，將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)2代入中得到切線的斜率k，再將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)2代入到中，得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；第二問，討論的單調(diào)性即討論的正負(fù)，即討論導(dǎo)數(shù)表達(dá)式分子的正負(fù)，所以構(gòu)造函數(shù)，通過分析題意，將分成、、、多種情況，分類討論，判斷的正負(fù)，從而得到的單調(diào)性.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，
       6分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060256744903.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以 ，
令        8分
（i）當(dāng)a=0時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)g(x)>0, 此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
x∈（1，∞）時(shí)，g(x)<0,此時(shí)函數(shù)f^,(x)單調(diào)遞增。
（ii）當(dāng)時(shí)，由，解得：        10分
①若,函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，        11分
②若，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
③ 當(dāng)a<0時(shí)，由于1/a-1<0,
x∈(0,1)時(shí)，g(x)>0,此時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；
x∈（1，∞）時(shí)，g(x)<0 ,,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增。
綜上所述：
當(dāng)a≤ 0 時(shí)，函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減;
函數(shù)f(x)在 (1, +∞) 上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)在(0, + ∞)上單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減；
函數(shù) f(x)在上單調(diào)遞增；   14分