Question

已知拋物線，點(diǎn)P（-1，0）是其準(zhǔn)線與軸的焦點(diǎn)，過P的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn).
（1）當(dāng)線段AB的中點(diǎn)在直線上時(shí)，求直線的方程；
（2）設(shè)F為拋物線C的焦點(diǎn)，當(dāng)A為線段PB中點(diǎn)時(shí)，求△FAB的面積.

Answer 1

（1）.  （2）.

試題分析：（1）首先確定拋物線方程為，將直線的方程為，（依題意存在，且≠0）與拋物線方程聯(lián)立，消去得應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，進(jìn)一步求得直線的斜率，從而可得直線方程.應(yīng)注意直線斜率的存在性.
（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式確定得到，再利用A、B為拋物線上點(diǎn)，得得到方程組求得
，，計(jì)算得到△FAB的面積 .注意結(jié)合圖形分析，通過確定點(diǎn)的坐標(biāo)，得到三角形的高線長.
試題解析：（1）因?yàn)閽佄锞�的準(zhǔn)線為，所以，
拋物線方程為            2分
設(shè)，直線的方程為，（依題意存在，且≠0）與拋物線方程聯(lián)立，消去得   （*）
， 4分
  
所以AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即，所以 6分
（此時(shí)（*）式判別式大于零）
所以直線的方程為 7分
（2）因?yàn)锳為線段PB中點(diǎn)，所以        8分
由A、B為拋物線上點(diǎn)，得，     10分
解得，         11分
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，        12分
所以△FAB的面積  14分