【題目】已知
是邊長為2的正三角形，
是等腰直角三角形.把沿其斜邊
翻折到
，使
，設
為
的中點.
（1）求證：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見詳解；（2）
.
【解析】
（1）取
中點
，由勾股定理可得
，又
是等腰直角三角形，可證
，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果；
（2）方法一：由（1）知，
、
、
兩兩垂直，分別以、、為
、
、
軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求二面角，即可求出結(jié)果；
解法二：等積法
在
和
中，分別用余弦定理得：中線
長
， 
，又勾股定理可證
①；在
中解得
，在平面
內(nèi)過
作
②，由等積法得
，于是
.由①②得
、
所成的角（或其補角）就是二面角
的平面角，再根據(jù)余弦定理即可求出結(jié)果.
（1）證明：取中點，連
、
，由已知易得
，
，于是
，從而，另一方面，是等腰直角三角形，故，且、相交，所以
平面
，于是平面
平面；
（2）由（1）知，、、兩兩垂直，分別以、、為、、軸，建立空間直角坐標系，由已知得
，
，
，
，
.于是，
，
，
，設平面
的法向量是
，則
解得
，
所以
，同理平面
的法向量
，
設二面角為
，則
.
（2）解法二：等積法
由于
為
的中點，且設
，在和中，分別用余弦定理得：中線長，同理，從而
是直角三角形，且①.另一方面在中解得，在平面內(nèi)過作②，由等積法得，于是.由①②得、所成的角（或其補角）就是二面角的平面角.由
，得
，設二面角的度數(shù)為，于是
.
計算高手系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，底面是邊長為4的正三角形，
，
底面
，點
分別為
，
的中點.
（1）求證：平面
平面
；
（2）在線段
上是否存在點
，使得直線
與平面
所成的角的正弦值為
？若存在，確定點
的位置；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖
，梯形
中，
，過
分別作
，
，垂足分別
，
，已知
，將梯形沿
同側(cè)折起，得空間幾何體
，如圖
．
1
若
，證明：
平面
；
2若
，
，線段
上存在一點
，滿足
與平面
所成角的正弦值為
，求
的長．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐C﹣ABNM中，四邊形ABNM的邊長均為2，△ABC為正三角形，MB
，MB⊥NC，E，F分別為MN，AC中點．
（Ⅰ）證明：MB⊥AC；
（Ⅱ）求直線EF與平面MBC所成角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某省開展“精準脫貧，攜手同行”的主題活動，某貧困縣統(tǒng)計了100名基層干部走訪貧困戶的數(shù)量，并將走訪數(shù)量分成5組，統(tǒng)計結(jié)果見下表.
走訪數(shù)量區(qū)間 | 頻數(shù) | 頻率 |
| b | |
| 10 | |
| 38 | |
| a | 0.27 |
| 9 | |
總計 | 100 | 1.00 |
（1）求a與b的值；
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計這100名基層干部走訪數(shù)量的中位數(shù)（精確到個位）；
（3）如果把走訪貧困戶不少于35戶視為“工作出色”，按照分層抽樣，從“工作出色”的基層干部中抽取4人，再從這4人中隨機抽取2人，求其中有1人走訪貧困戶不少于45戶的概率.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（k為常數(shù)，
且
）．
（1）在下列條件中選擇一個________使數(shù)列
是等比數(shù)列，說明理由；
①數(shù)列
是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；
②數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列；
③數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列的前n項和構成的數(shù)列．
（2）在（1）的條件下，當
時，設
，求數(shù)列
的前n項和
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設集合
＝{1，2，3，…，n}(其中n≥3，n
)，將的所有3元子集（含有3個元素的子集）中的最小元素的和記為
.
（1）求
，
，
的值；
（2）試求的表達式.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】華為手機作為全球手機銷量第二位，一直深受消費者喜歡.據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，2019年度華為手機（含榮耀）在中國市場占有率接近
！小明為了考查購買新手機時選擇華為是否與年齡有一定關系，于是隨機調(diào)查100個2019年購買新手機的人，得到如下不完整的列表.定義30歲以下為“年輕用戶”，30歲以上為“非年輕用戶”.
購買華為 | 購買其他 | 總計 | |
年輕用戶 | 28 | ||
非年輕用戶 | 24 | 60 | |
總計 |
附：
.
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（1）將列表填充完整，并判斷是否有
的把握認為購買手機時選擇華為與年齡有關？
（2）若采用分層抽樣的方法從購買華為手機用戶中抽出6個人，再隨機抽2人，求恰好抽到的兩人都是非年輕用戶的概率.
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