Question

（2009•虹口區(qū)二模）定義：區(qū)間[a，b]（ a＜b）的長(zhǎng)度為b-a．已知函數(shù)y=|log_0.5x|的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇0，2]，則區(qū)間[a，b]長(zhǎng)度的最大是

15

4

．

Answer 1

分析：由已知中關(guān)于區(qū)間[a，b]（ a＜b）的長(zhǎng)度為b-a，我們根據(jù)函數(shù)y=|log_0.5x|的值域?yàn)閇0，2]，可得要使區(qū)間[a，b]長(zhǎng)度最大，則函數(shù)y=log_0.5x的值域[-2，2]，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可構(gòu)造關(guān)于x的不等式，解不等式求出a，b的值，即可得到答案．

解答：解：∵函數(shù)y=|log_0.5x|的值域[0，2]，
∴使函數(shù)y=|log_0.5x|的定義域的長(zhǎng)度最大，則函數(shù)y=log_0.5x的值域[-2，2]，
即-2≤log_0.5x≤2
即

1

4

≤x≤4
此時(shí)區(qū)間[

1

4

，4]的寬度為4-

1

4

=

15

4

故答案為：

15

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是區(qū)間的概念，函數(shù)的定義域和值域，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，其中熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解對(duì)數(shù)不等式是解答本題的關(guān)鍵．