[題目]如圖.把長為6.寬為3的矩形折成正三棱柱.三棱柱的高度為3.矩形的對角線和三棱柱的側(cè)棱.的交點(diǎn)記為.(1)在三棱柱中.若過三點(diǎn)做一平面.求截得的幾何體的表面積,(2)求三棱柱中異面直線與所成角的余弦值. 題目和參考答案——青夏教育精英家教網(wǎng)—

精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

【題目】如圖，把長為6，寬為3的矩形折成正三棱柱，三棱柱的高度為3，矩形的對角線和三棱柱的側(cè)棱、的交點(diǎn)記為.

（1）在三棱柱中，若過三點(diǎn)做一平面，求截得的幾何體的表面積；

（2）求三棱柱中異面直線與所成角的余弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由操作可知，該正三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，正三棱柱的高為3.所求幾何體的表面積為各面的面積之和，利用表面積公式求解即可；

（2）延長到H，使，連結(jié)，可以證明出，所以異面直線與所成的角即為（或其補(bǔ)角），利用余弦定理求值即可.

（1）由操作可知，該正三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，正三棱柱的高為3.所求幾何體的表面積為各面的面積之和.

又

又在三角形中，

∴

故

（2）延長到H，使，連結(jié)，所以有平行四邊形的性質(zhì)可知

，所以異面直線與所成的角即為（或其補(bǔ)角）

在中，，

由余弦定值得

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