Question

【題目】已知點(diǎn)F是拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，若點(diǎn)P（x0，4）在拋物線C上，且.

（1）求拋物線C的方程；

（2）動(dòng)直線l：x＝my+1（mR）與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)D（t，0）（其中t≠0），使得kAD+kBD＝0，（kAD，kBD分別為直線AD，BD的斜率）若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）存在，（﹣1，0）.

【解析】

（1）先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，將拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，列方程即可求得p＝2，從而可得結(jié)果；（2）假設(shè)存在，設(shè)A,B坐標(biāo)，直線與拋物線聯(lián)立得關(guān)于y的二次函數(shù)方程，兩根之和，兩根之積寫(xiě)出，利用斜率之和為0，即可求出t的值.

（1）由題意得：拋物線的準(zhǔn)線方程：，

∵點(diǎn)P（x0，4）在拋物線C上，

，，

，

所以由題意：，解得：p＝2，

所以拋物線C的方程：y2＝4x；

（2）由題意得，假設(shè)存在D（t，0）使得，

設(shè)A（x，y），B（x'，y'），，整理得：，

，，

由得

，，

時(shí)，使得，

即D點(diǎn)的坐標(biāo)：（﹣1，0）．