【題目】已知函數(shù)
.
（1）當
時，求函數(shù)
的最大值；
（2）若函數(shù)存在兩個極值點
，
，求證：
.
【答案】（1）當
時，
的最大值為
，當
時，的最大值為1；（2）證明見解析.
【解析】
（1）求出函數(shù)的導數(shù)
，分為
，
，三種情況，結(jié)合導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，繼而求出最大值.
（2）由函數(shù)存在兩個極值點可知
在
上存在兩不等的實根，令
，從而可知
，可求出
的取值范圍，結(jié)合韋達定理可求出
，結(jié)合令
，在
上的單調(diào)性，可證明
.
解：（1）由題意知，定義域為，且，
當
時，解得，此時
對
成立，
則在
上是增函數(shù)，此時最大值為
，
當
時，由得
，由
，
取
，則
時，
；
時，，
所以在上是減函數(shù)，在
上是增函數(shù)，又
則當
，即時，此時，在上的最大值為；
當
，即時，在上的最大值為，
綜上，當時，函數(shù)在的最大值為，當時，函數(shù)在的最大值為1.
（2）要使存在兩個極值點，則在上存在兩不等的實根，
令，則對稱軸為
，則，解得，
由韋達定理知
，
.
令，，
，
在
上單調(diào)遞減，
時，
，
.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某市教育局為了監(jiān)控某校高一年級的素質(zhì)教育過程，從該校高一年級16個班隨機抽取了16個樣本成績，制表如下：
抽取次序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
測評成績 | 95 | 96 | 96 | 90 | 95 | 98 | 98 | 97 |
抽取次序 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
測評成績 | 97 | 95 | 96 | 98 | 99 | 96 | 99 | 96 |
令
為抽取的第
個學生的素質(zhì)教育測評成績，
，經(jīng)計算得
，
，
，
，以下計算精確到0.01.
（1）求
的相關(guān)系數(shù)
，并回答與
是否可以認為具有較強的相關(guān)性；
（2）在抽取的樣本成績中，如果出現(xiàn)了在
之外的成績，就認為本學期的素質(zhì)教育過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對本學期的素質(zhì)教學過程進行反思，同時對下學期的素質(zhì)教育過程提出指導性的建議，從該校抽樣的結(jié)果來看，是否需對本學期的素質(zhì)教學過程進行反思，同時對下學期的素質(zhì)教育過程提出指導性的建議？
附：樣本
的相關(guān)系數(shù)
，若
，則可以認為兩個變量具有較強的線性相關(guān)性.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】隨著生活水平的提高和人們對健康生活的重視，越來越多的人加入到健身運動中.國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)顯示，2019年有4億國人經(jīng)常參加體育鍛煉.某健身房從參與健身的會員中隨機抽取100人，對其每周參與健身的天數(shù)和2019年在該健身房所有消費金額（單位：元）進行統(tǒng)計，得到以下統(tǒng)計表及統(tǒng)計圖：
平均每周健身天數(shù) | 不大于2 | 3或4 | 不少于5 |
人數(shù)（男） | 20 | 35 | 9 |
人數(shù)（女） | 10 | 20 | 6 |
若某人平均每周進行健身天數(shù)不少于5，則稱其為“健身達人”.該健身房規(guī)定消費金額不多于1600元的為普通會員，超過1600元但不超過3200元的為銀牌會員，超過3200元的為金牌會員.
（1）已知金牌會員都是健身達人，現(xiàn)從健身達人中隨機抽取2人，求他們均是金牌會員的概率；
（2）能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為性別和是否為“健身達人”有關(guān)系？
（3）該健身機構(gòu)在2019年年底針對這100位消費者舉辦一次消費返利活動，現(xiàn)有以下兩種方案：
方案一：按分層抽樣從普通會員、銀牌會員和金牌會員中共抽取25位“幸運之星”，分別給予188元，288元，888元的幸運獎勵；
方案二：每位會員均可參加摸獎游戲，游戲規(guī)則如下：摸獎箱中裝有5張形狀大小完全一樣的卡片，其中3張印跑步機圖案、2張印動感單車圖案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一張，若摸到動感單車的總數(shù)為2，則獲得100元獎勵，若摸到動感單車的總數(shù)為3，則獲得200元獎勵，其他情況不給予獎勵.規(guī)定每個普通會員只能參加1次摸獎游戲，每個銀牌會員可參加2次摸獎游戲，每個金牌會員可參加3次摸獎游戲（每次摸獎結(jié)果相互獨立）.
請你比較該健身房采用哪一種方案時，在此次消費返利活動中的支出較少，并說明理由.
附：
，其中
為樣本容量.
| 0.50 | 0.25 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
| 0.455 | 1.323 | 2.706 | 3.841 | 6.636 | 7.879 |
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某公司有l000名員工，其中男性員工400名，采用分層抽樣的方法隨機抽取100名員工進行5G手機購買意向的調(diào)查，將計劃在今年購買5G手機的員工稱為“追光族”，計劃在明年及明年以后才購買5G手機的員工稱為“觀望者”調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)抽取的這100名員工中屬于“追光族”的女性員工和男性員工各有20人.
（Ⅰ）完成下列
列聯(lián)表，并判斷是否有
的把握認為該公司員工屬于“追光族”與“性別”有關(guān)；
屬于“追光族” | 屬于“觀望者” | 合計 | |
女性員工 | |||
男性員工 | |||
合計 | 100 |
（Ⅱ）已知被抽取的這l00名員工中有6名是人事部的員工，這6名中有3名屬于“追光族”現(xiàn)從這6名中隨機抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名屬于“追光族”的概率．
附：
，其中
.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某籃球隊甲、乙兩名運動員練習罰球，每人練習10組，每組罰球40個．命中個數(shù)的莖葉圖如圖，則下面結(jié)論中錯誤的一個是( )
A. 甲的極差是29 B. 甲的中位數(shù)是24
C. 甲罰球命中率比乙高 D. 乙的眾數(shù)是21
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在多邊形
中，四邊形
為等腰梯形，
，
，
，四邊形
為直角梯形，
，
．以
為折痕把等腰梯形折起，使得平面
平面，如圖2所示．
（1）證明：
平面
．
（2）求直線
與平面
所成角的正切值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】
企業(yè)為了監(jiān)控某種零件的一條流水生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量，檢驗員從該生產(chǎn)線上隨機抽取100個零件，測量其尺寸
（單位：
）并經(jīng)過統(tǒng)計分析，得到這100個零件的平均尺寸為10，標準差為0.5.企業(yè)規(guī)定：若
，該零件為一等品，企業(yè)獲利20元；若
且
，該零件為二等品，企業(yè)獲利10元；否則，該零件為不合格品，企業(yè)損失40元.
（1）在某一時刻內(nèi)，依次下線10個零件，如果其中出現(xiàn)了不合格品，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查若這10個零件的尺寸分別為9.6，10.5，9.8，10.1，10.7，9.4，10.9，9.5，10，10.9，則從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需要對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？
（2）將樣本的估計近似地看作總體的估計通過檢驗發(fā)現(xiàn)，該零件的尺寸服從正態(tài)分布
.其中近似為樣本平均數(shù)，
近似為樣本方差
.
（i）從下線的零件中隨機抽取20件，設其中為合格品的個數(shù)為
，求的數(shù)學期望（結(jié)果保留整數(shù)）
（ii）試估計生產(chǎn)10000個零件所獲得的利潤.
附：若隨機變量
服從正態(tài)分布,則
，
，
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，
為正三角形，
，
，
，點
在線段
的中點，點
為線段
的中點．
（1）在線段
上是否存在點
，使得
平面
？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由．
（2）求三棱錐
的體積．
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