Question

【題目】已知函數(shù)，，．

（Ⅰ)若的圖像在處的切線過點，求的值并討論在上的單調(diào)增區(qū)間；

（Ⅱ）定義：若直線與曲線、都相切，則我們稱直線為曲線、的公切線．若曲線與存在公切線，試求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】【試題分析】(I)求出函數(shù)在處的切線方程,代入點求得的值.求出的表達(dá)式,對求導(dǎo)后對分類討論,由此求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II)由出發(fā),設(shè)出其切點的橫坐標(biāo),求得切線方程,同理求得的切線方程,聯(lián)立這兩條切線方程可求得的表達(dá)式,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得有解,從而證得存在共切線.

【試題解析】

（Ⅰ）由，得．又，

故在的切線方程為．帶入，得

．從而，，．

①當(dāng)時，，．故的單調(diào)增區(qū)間為；

②當(dāng)，即時，，．故的單調(diào)增區(qū)間為；

③當(dāng)，即時，由得，故的單調(diào)增區(qū)間為．

綜上，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為．

（Ⅱ）設(shè)的切點橫坐標(biāo)為，，

切線方程為……①

設(shè)的切點橫坐標(biāo)為，，

切線方程為……②

聯(lián)立①②，得，消去得．

考慮函數(shù)，．

令，得或．

當(dāng)或時，，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，當(dāng)且時，，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增．

，．故當(dāng)時，方程有解，

從而，函數(shù)與存在公切線．