Question

已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a，b，c，面積為S_△ABC，且

m

=(b2+c2-a2，-2)，

n

=(sinA，S△ABC)，

m

⊥

n

．
（1）求函數(shù)f(x)=4cosxsin(x-

A

2

)在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域；
（2）若a=3，且sin(B+

π

3

)=

3

3

，求b．

Answer 1

分析：（1）由

m

⊥

n

得到

m

•

n

=0，根據(jù)兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，再由余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，根據(jù)三角形的面積公式得到S_△ABC=

1

2

bcsinA，代入得到的關(guān)系式中，化簡后得出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值得出A的度數(shù)，將A的度數(shù)代入函數(shù)f（x）的解析式中，并利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，然后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由x的范圍求出這個角的范圍，可得到此時正弦函數(shù)的值域，進(jìn)而求出函數(shù)的值域；
（2）由sin（B+

π

3

）的值，得到B+

π

3

的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（B+

π

3

）的值，然后把B化為（B+

π

3

）-

π

3

，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，將各自的值代入，求出sinB的值，再由sinA及a的值，利用正弦定理即可求出b的值．

解答：解：（1）∵

m

=(b2+c2-a2，-2)，

n

=(sinA，S△ABC)，

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=（b²+c²-a²）sinA-2S_△ABC=0，
又a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-a²=2bccosA，且S_△ABC=

1

2

bcsinA，
∴2bccosAsinA-2×

1

2

bcsinA=0，即2bccosAsinA-bcsinA=0，
∴cosA=

1

2

，又A為三角形的內(nèi)角，
∴A=

π

3

，
函數(shù)f(x)=4cosxsin(x-

A

2

)=4cosxsin（x-

π

6

）
4cosx（

3

2

sinx-

1

2

cosx）=2

3

sinxcosx-2cos²x
=

3

sin2x-cos2x-1=2sin（2x-

π

6

）-1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴-2≤f（x）≤1，
則f（x）的值域?yàn)閇-2，1]；
（2）由sin（B+

π

3

）=

3

3

，得到

3π

4

＜B+

π

3

＜π，
∴cos（B+

π

3

）=-

1-sin2(B+ π 3 )

=-

6

3

，
∴sinB=[（B+

π

3

）-

π

3

]
=sin（B+

π

3

）cos

π

3

-cos（B+

π

3

）sin

π

3

=

3

3

×

1

2

+

6

3

×

3

2

=

3 +2 2

6

，
又a=3，sinA=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：b=

asinB

sinA

=1+

6

．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．