Question

【題目】如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)．
（1）求證：直線BD1∥平面PAC
（2）求證：平面PAC⊥平面BDD1B1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD交AC于O點(diǎn)，連接OP，

因?yàn)镺為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，

則OP∥BD1，又因?yàn)镺P面APC，BD1面APC

所以直線BD1∥平面PAC

（2）證明：因?yàn)锳B=AD=1，所以矩形ABCD為正方形，所以AC⊥BD，

由長(zhǎng)方體可知，DD1⊥AC，而B(niǎo)D∩DD1=D，

所以AC⊥面BDD1B1，且AC面PAC，

則平面PAC⊥平面BDD1B1

【解析】（1）連接BD交AC于O點(diǎn)，連接OP，運(yùn)用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證；（2）由線面垂直的判定定理，證得AC⊥面BDD1B1 ， 再由面面垂直的判定定理即可得證．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．