Question

【題目】已知函數(shù)，實數(shù).

（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）若存在，使得關(guān)于x的不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）采用分類討論的方法，與，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.

（2）化簡式子，并構(gòu)造函數(shù)，計算，然后再次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)情況，可得結(jié)果.

（1）由題知的定義域為，

.

∵，，∴由可得.

（i）當(dāng)時，

，當(dāng)時，單遞減；

（ii）當(dāng)時，，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增.

綜上所述，時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（2）由題意：不等式在成立

即在時有解.

設(shè)，，只需.

則，因為，

所以在上，，

在上，.

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

因此.

不等式在成立，

則恒成立.

又，所以恒成立.

令，則.

在上，，單調(diào)遞增；

在上，，單調(diào)遞減.

所以.

因此解可得且，

即且.

所以實數(shù)a的取值范圍是.