【題目】如圖，已知M(x0，y0)是橢圓C：
＋
＝1上的任一點，從原點O向圓M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q.
(1)若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：k1k2為定值；
(2)試問|OP|2＋|OQ|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．
【答案】見解析
【解析】
解：(1)證明：因為直線OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x與圓M相切，所以
＝
，
化簡得：(x－2)k－2x0y0k1＋y－2＝0，
同理：(x－2)k－2x0y0k2＋y－2＝0，
所以k1，k2是方程(x－2)k2－2x0y0k＋y－2＝0的兩個不相等的實數(shù)根，
所以k1·k2＝
.
因為點M(x0，y0)在橢圓C上，所以
＋
＝1，即y＝3－
x，
所以k1k2＝
＝－為定值．
(2)|OP|2＋|OQ|2是定值，定值為9.
理由如下：
方法一：①當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
聯(lián)立
解得
所以x＋y＝
，同理得x＋y＝
，
又因為k1k2＝－，
所以|OP|2＋|OQ|2＝x＋y＋x＋y
＝＋
＝＋
＝
＝9.
②當(dāng)直線OP，OQ落在坐標(biāo)軸上時，顯然有|OP|2＋|OQ|2＝9，
綜上：|OP|2＋|OQ|2＝9為定值．
方法二：①當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因為k1k2＝－，所以yy＝
xx，
因為P(x1，y1)，Q(x2，y2)在橢圓C上，
所以
即
所以
＝xx，整理得x＋x＝6，
所以y＋y＝＋＝3，所以|OP|2＋|OQ|2＝9.
②當(dāng)直線OP，OQ落在坐標(biāo)軸上時，顯然有|OP|2＋|OQ|2＝9，
綜上：|OP|2＋|OQ|2＝9為定值．
孟建平錯題本系列答案
超能學(xué)典應(yīng)用題題卡系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在棱長均相等的正三棱柱ABCA1B1C1中，D為BB1的中點，F(xiàn)在AC1上，且DF⊥AC1，則下述結(jié)論：
①AC1⊥BC；
②AF＝FC1；
③平面DAC1⊥平面ACC1A1，其中正確的個數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分16分）已知
是虛數(shù)， 
是實數(shù)．
（1）求
為何值時， 
有最小值，并求出|
的最小值；
（2）設(shè)
，求證： 
為純虛數(shù)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知圓
： 
過橢圓
： 
的短軸端點， 
分別是圓
與橢圓
上任意兩點，且線段
長度的最大值為3.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過點
作圓
的一條切線交橢圓
于
兩點，求
的面積的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
＋
＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，且橢圓C經(jīng)過點P
.
(1)求橢圓C的離心率；
(2)設(shè)過點A(0，2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且
＝
＋
，求點Q的軌跡方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）求函數(shù)
的圖象在
處的切線方程；
（2）若函數(shù)
在
上有兩個不同的零點，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)
，使得對任意的
，都有函數(shù)
的圖象在
的圖象的下方？若存在，請求出最大整數(shù)
的值；若不存在，請說理由.
（參考數(shù)據(jù)： 
， 
）.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
（
）的離心率為
，短軸的一個端點為
.過橢圓左頂點
的直線
與橢圓的另一交點為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若
與直線
交于點
，求
的值；
（3）若
，求直線
的傾斜角.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在矩形
中，已知
，點
、
分別在
、
上，且
，將四邊形
沿
折起，使點
在平面
上的射影
在直線
上．
（I）求證： 
；
（II）求點
到平面
的距離；
（III）求直線
與平面
所成的正弦值．
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