Question

【題目】已知橢圓的離心率，且橢圓過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，判斷四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)離心率和橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程組求解橢圓的方程；（2）寫(xiě)出四邊形的面積表達(dá)式，結(jié)合表達(dá)式的特征進(jìn)行判斷.

解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率，所以，即.

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以.

由，

解得.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為或，此時(shí)四邊形的面積為.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程是，

聯(lián)立方程組，消去，得，

，，，

.

，

點(diǎn)到直線的距離是.

由，得，.

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以有，整理得.

由題意，四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為

.

由，得，故四邊形的面積是定值，其定值為.