Question

【題目】已知定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足．

（1）求與的解析式；

（2）求證：在區(qū)間上單調(diào)遞增；并求在區(qū)間的反函數(shù)；

（3）設(shè)（其中為常數(shù)），若對(duì)于恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析，，；（3）

【解析】

（1）利用函數(shù)的奇偶性構(gòu)造，解出兩個(gè)函數(shù)的解析式；

（2）由（1）可知，利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，令，整理為，解得，再求反函數(shù)；

（3）在單調(diào)遞增，∴， 對(duì)于恒成立，然后利用參變分離為對(duì)于恒成立，求的取值范圍.

（1）①，

因?yàn)?/span>是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，所以有，即②

∵，定義在實(shí)數(shù)集上，

由①和②解得，，．

（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．對(duì)于任意，，

因?yàn)?/span>，所以，，，，，，

從而，所以當(dāng)時(shí)，遞增．

設(shè)，則，令，則．再由解得，即．

因?yàn)?/span>，所以，

因此的反函數(shù)，.

（3）∵在單調(diào)遞增，∴．

∴對(duì)于恒成立，∴對(duì)于恒成立，

令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，

∴為的取值范圍．