Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當時，求曲線在點處切線的方程；

（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，證明對任意，恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)；（3）見解析

【解析】

（1）當時，求得，進而得到，利用直線的點斜式方程，即可求解；

（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，三種情況分類討論，即可求解．

（3）把，轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．

（1）當時，則函數(shù)，

則，則，

曲線在點處切線的方程為，即.

（2）由函數(shù)，則，

令，，，又，

①若，，當變化時，，的變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

所以在區(qū)間和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).

②若，，當變化時，，的變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

所以在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).

（3）因，所以在內(nèi)是減函數(shù)，又，

不妨設(shè)，則，.

于是，等價于，

即，

令，

因在內(nèi)是減函數(shù)，

故，從而在內(nèi)是減函數(shù)，

∴對任意，有，即，

∴當時，對任意，恒成立.