Question

（2012•靜安區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=-x²+4|x|+5．
（1）畫出函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[-5，5]上的大致圖象；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＜7；
（3）當(dāng)4-2

2

＜k＜4+2

2

時(shí)，證明：f（x）＜kx+4k+7對x∈R恒成立．

Answer 1

分析：（1）f（x）=-x²+4|x|+5=

-x2+4x+5，x≥0 -x2-4x+5，x＜0

，求出函數(shù)的對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，能夠畫出函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[-5，5]上的大致圖象．
（2）原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為下列不等式組：

x≥0 -x2+4x+5＜7

或者

x＜0 -x2-4x+5＜7.

，由此能求出原不等式的解集．
（3）原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為下列不等式組：

x＜0，…1 x2+4x+kx+4k+2＞0；…2

或者

x≥0，…3 x2-4x+kx+4k+2＞0．…4

，由此能夠證明f（x）＜kx+4k+7對x∈R恒成立．

解答：解：（1）f（x）=-x²+4|x|+5=

-x2+4x+5，x≥0 -x2-4x+5，x＜0

，
∵[-5，5]，
∴由-x²+4x+5=0，得x₁=-1（舍），x₂=5；
由-x²-4x+5=0，得x₁=1（舍），x₂=-5．
∴圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)（-5，0），（5，0），
y=-x²-4x+5的對稱軸是x=-2，最高點(diǎn)是（-2，9），y=-x²+4x+5的對稱軸是x=2，最高點(diǎn)是（2，9），
與y軸的交點(diǎn)是（0，5），
∴其圖象是如右圖
（2）原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為下列不等式組：

x≥0 -x2+4x+5＜7

或者

x＜0 -x2-4x+5＜7.

，
解得不等式的解為0≤x＜2-

2

或x＞2+

2

或-2+

2

＜x＜0或x＜-2-

2

．…（4分）
（或者由x²-4|x|+2＞0，解得0≤|x|＜2-

2

或|x|＞2+

2

）
所以原不等式的解為：(-∞，-2-

2

)∪(-2+

2

，2-

2

)∪(2+

2

，+∞)．…（6分）
（3）證法1：原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為下列不等式組：
（Ⅰ）

x＜0，…1 x2+4x+kx+4k+2＞0；…2

或者（Ⅱ）

x≥0，…3 x2-4x+kx+4k+2＞0．…4

（2分）
（Ⅰ）不等式2中，判別式△1=(k-4)2-8，
因?yàn)?span id="kkjev1q" class="MathJye">4-2

2

＜k＜4+2

2

，
所以-2

2

＜k-4＜2

2

，0≤（k-4）²＜8，
即△₁＜0；所以當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜kx+4k+7恒成立．…（5分）
（Ⅱ）在不等式4中，判別式△2=(k-4)2-16k-8，
因?yàn)?span id="1hq5v72" class="MathJye">4-2

2

＜k＜4+2

2

，
所以-2

2

＜k-4＜2

2

，0≤（k-4）²＜8，
又-16×4-32

2

＜-16k＜-16×4+32

2

＜0，
所以△₂＜0．
（或者

△2=k2-24k+8=(k-12)2-136≤[(4-2 2 )-12]2-136 =(8+2 2 )2-136＜112-136＜0

）
所以當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＜kx+4k+7恒成立．
綜上討論，得到：當(dāng)4-2

2

＜k＜4+2

2

時(shí)，
f（x）＜kx+4k+7對x∈R恒成立．…（8分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)圖象的畫法，考查不等式的解法，考查不等式恒成立的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．