Question

【題目】設(shè)函數(shù)， ， .

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)在函數(shù)的圖像的下方，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①當(dāng)時(shí)， 在在上單調(diào)遞增， 上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)， 在， 上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)， 在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，對進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）由函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)在函數(shù)的圖像的下方，可推出，使得成立，即， 有解，設(shè)，求出函數(shù)的單調(diào)性與最小值，從而可得的取值范圍.

試題解析：(1) ，

①當(dāng)時(shí)， 在在上單調(diào)遞增， 上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)， 在， 上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；

③當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；

④當(dāng)時(shí)， 在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;

(2)∵函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)在函數(shù)的圖像的下方，可知，使得成立， ，即， 有解， 設(shè)， ，

令，則當(dāng)時(shí)， ，所以在上遞增，

，

存在唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，則當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

故，

由,可得， ，

，

，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.