Question

已知A，B，C三點(diǎn)在球心為O，半徑為3的球面上，且?guī)缀误wO-ABC為正四面體，那么A，B兩點(diǎn)的球面距離為

 

；點(diǎn)O到平面ABC的距離為

 

．

Answer 1

分析：欲求A，B兩點(diǎn)的球面距離，先求出A、B兩點(diǎn)的球心角∠AOB，再利用球面距離的定義即可求出，將點(diǎn)O到平面ABC的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)O到直線AD的距離，通過解直角三角形即得．

解答：解：作出圖形，
∵幾何體O-ABC為正四面體，
∴球心角∠AOB=

π

3

∴A，B兩點(diǎn)的球面距離=

π

3

×3=π．
∵幾何體O-ABC為正四面體，
∴球心在平面ABC上的射影是三角形的中心Q，
∴點(diǎn)O到平面ABC的距離為OQ，
在直角三角形OAQ中，
OA=3，AQ=

2

3

AD=

3

，
∴OQ=

9-3

=

6

．
故答案為：π，

6

點(diǎn)評：本題主要考查了點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．