Question

【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足a1=2，a2=4（a3﹣a4），數(shù)列{bn}滿足bn=3﹣2log2an ．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）令cn= ，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）若λ＞0，求對(duì)所有的正整數(shù)n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立的k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1=2，a2=4（a3﹣a4），

∴a2=4a2（q﹣q2），化為：4q2﹣4q+1=0，解得q= ．

∴an= =22﹣n．

∴bn=3﹣2log2an=3﹣2（2﹣n）=2n﹣1

（2）解：cn= = = ．

∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn= [2+322+5×23+…+（2n﹣1）2n]，

∴2Sn= [22+323+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1]，

∴﹣Sn= = ，

可得：Sn=

（3）解：不等式2λ2﹣kλ+2＞a2nbn，即2λ2﹣kλ+2＞22﹣2n（2n﹣1），

令dn=22﹣2n（2n﹣1），則dn+1﹣dn= ﹣ = = ＜0，

因此dn+1＜dn，即數(shù)列{dn}單調(diào)遞減，因此n=1時(shí)dn取得最大值d1=1．

∵對(duì)所有的正整數(shù)n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立，

∴2λ2﹣kλ+2＞1，∵λ＞0．

∴k＜2 ，∵2 ≥2 =2 ，當(dāng)且僅當(dāng)λ= 時(shí)取等號(hào)．

∴ ．

即k的取值范圍是

【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)a1=2，a2=4（a3﹣a4），可得a2=4a2（q﹣q2），化簡(jiǎn)解得q．可得an ． 利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得bn ． （2）cn= = = ．利用錯(cuò)位相減法與等比數(shù)列的求和公式即可得出．（3）不等式2λ2﹣kλ+2＞a2nbn ， 即2λ2﹣kλ+2＞22﹣2n（2n﹣1），令dn=22﹣2n（2n﹣1），通過作差可得：dn+1＜dn ， 即數(shù)列{dn}單調(diào)遞減，因此n=1時(shí)dn取得最大值d1=1．根據(jù)對(duì)所有的正整數(shù)n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立，可得2λ2﹣kλ+2＞1，根據(jù)λ＞0．可得k＜2 ，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．