Question

已知點(diǎn)F（1，0），直線L：x=-1，P為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線L的垂線，垂足為Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）是否存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個交點(diǎn)A，B的任一直線，都有

FA

•

FB

＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），則Q（-1，y），可得

QP

=（x+1，0），

QF

=（2，-y），

FP

=（x-1，y），

FQ

=（-2，y），
∵

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，
∴（x+1）•2=（x-1）（-2）+y²，化簡得y²=4x，
即動點(diǎn)P的軌跡C的方程為y²=4x．
（2）設(shè)l的方程為x=ty+m，過點(diǎn)M（m，0）（m＞0）的直線l與
曲線C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

x=ty+m y2=4x

消去x，得y²-4ty-4m=0．…（*）
則y₁、y₂是方程（*）的兩根．
∴△=16（t²+m）＞0，且

y1+y2=4t y1y2=-4m

①
又∵

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)，
∴

FA

•

FB

＜0，可得（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＜0，即x₁x₂-（x₁-x₂）+1+y₁y₂＜0…②
由于x1x2=

y12

4

•

y22

4

，代入不等式②可得：

y 21

4

•

y 22

4

+y1y2-(

y 21

4

+

y 22

4

)+1＜0，
化簡得

( y 1 y2)2

16

+y1y2-

1

4

[(y1+y2)2-2y1y2]+1＜0…③
由①式，化簡不等式③得m²-6m+1＜4t²，…④
對任意實(shí)數(shù)t，不等式4t²≥0恒成立，
∴不等式④對于一切t成立等價于m²-6m+1＜0，
解之得3-2

2

＜m＜3+2

2

．
由此可得：存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M（m，0），且與曲線C有兩個交點(diǎn)A，B的任一直線，
都有

FA

•

FB

＜0，且m的取值范圍是(3-2

2

，3+2

2

)．