Question

【題目】已知多面體如圖所示.其中為矩形， 為等腰直角三角形， ，四邊形為梯形，且， ， .

（1）若為線段的中點(diǎn)，求證： 平面.

（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的余弦值等于？若存在，請指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析：（1）因?yàn)?/span>， ，得平面，

得平面，以為原點(diǎn)， 分別為軸， 軸， 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系求得平面的一個(gè)法向量，進(jìn)而證得平面.

（2）由，求得平面的法向量，假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值等于，設(shè)，則， ，利用向量的運(yùn)算可解得，即可得到結(jié)論。

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>， ， ，故平面，

故平面，以為原點(diǎn)， 分別為軸， 軸， 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， ，所以，易知平面的一個(gè)法向量，所以，所以，又平面，所以平面.

（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成角的余弦值等于.理由如下：

直線與平面所成角的余弦值為，即直線與平面所成角的正弦值為，因?yàn)?/span>，設(shè)平面的法向量為，

由，得，取得平面的一個(gè)法向量

假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值等于，

設(shè)，則， ，

所以，

所以，解得或（舍去）

因此，線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成角的余弦值為.