Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：(1) 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論 的范圍， 得增區(qū)間， 得減區(qū)間； (2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，討論 的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 的最小值即可求出 的范圍.

試題解析：（1）.

（i）當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（ii）當(dāng)時(shí)，令，則，

當(dāng)，即，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）令，由（1）可知，函數(shù)的最小值為，所以，即.

恒成立與恒成立等價(jià)，

令，即，則.

①當(dāng)時(shí)， .（或令，則

在上遞增，∴，∴在上遞增，∴.

∴）.

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴，

∴恒成立.

②當(dāng)時(shí)，令，則，

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增.

又， ，

∴存在，使得，故當(dāng)時(shí)， ，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴，

即， 不恒成立，

綜上所述， 的取值范圍是.