Question

【題目】已知函數(shù)，是奇函數(shù)．

（1）求，的值；

（2）證明：是區(qū)間上的減函數(shù)；

（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）由于函數(shù)是奇函數(shù)，且有意義，則，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，列出方程，即可得到，；（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義，注意作差、變形，同時(shí)運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷符號(hào)，得到結(jié)論成立；（3）運(yùn)用奇函數(shù)的定義和函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，得到不等式組，注意定義域的運(yùn)用，解出它們即可得到范圍．

（1）∵函數(shù)，是奇函數(shù)，

∴，且，

即，.

（2）證明：由（1）得，，

設(shè)任意且，

∴ ，

∵，∴，∴，

又∵，，

∴，∴.

∴是區(qū)間上的減函數(shù)．

（3）∵，

∴，

∵奇函數(shù)，∴，

∵是區(qū)間上的減函數(shù)，

∴即有，

∴，

則實(shí)數(shù)的取值范圍是.