Question

如圖，已知圓錐的軸截面PAB是邊長為4的正三角形．
（Ⅰ）求該圓錐的表面積；
（Ⅱ）若M為圓錐的高PO的中點，過點M作平行于圓錐底面的截面，求截得的圓臺的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件求出圓錐的高和底面半徑，進而求該圓錐的表面積；
（Ⅱ）根據(jù)M為圓錐的高PO的中點，計算出大圓錐和小圓錐的體積，利用兩個錐體的體積差計算出圓臺的體積．

解答：解：（Ⅰ）∵圓錐的軸截面PAB是邊長為4的正三角形，
∴圓錐的底面半徑OB=2，圓錐的高PO=2

3

，母線PB=4，
∴該圓錐的表面積為π×OB×PB+π×OB²=8π+4π=12π．
（Ⅱ）∵M為圓錐的高PO的中點，
∴小圓錐的高為

1

2

PO=

1

2

×2

3

=

3

，小圓錐的底面半徑r=

1

2

×OB=

1

2

×2=1，
∴大圓錐的體積為

1

3

π×22×2

3

=

8 3

3

π，
小圓錐的體積為

1

3

π×12×

3

=

3

3

π，
∴圓臺的體積為

8 3

3

π-

3

3

π=

7 3

3

π．

點評：本題主要考查圓錐的體積和圓臺的體積的計算，要求熟練掌握相應的體積公式，考查學生的運算能力．