Question

已知方程x2-(

2

cos20°)x+(cos220°-

1

2

)=0（1）證明：方程有兩個相異的實數(shù)根．（2）若sinα，sinβ是該方程的兩根，且α，β是銳角，求α與β．

Answer 1

分析：（1）一元二次方程根的個數(shù)的判定可根據(jù)判別式的符號決定，故求△，利用三角化簡可知△恒大于0，從而得到結(jié)論；
（2）利用韋達(dá)定理建立等式關(guān)系可求出sinα=cosβ，則α=90°-β，代入方程即可求出α與β．

解答：證明：(1)△=(

2

cos20°)2-4(cos220°-

1

2

)=2cos220°-4cos220°+2=2(1-cos220°)=2sin²20°＞0
∴方程有兩個相異的實數(shù)根．
（2）∵sinα，sinβ是該方程的兩根∴

sinα+sinβ= 2 cos20° sinαsinβ=cos220°- 1 2

將（1）²-（2）×2得：（sinα+sinβ）²-2sinαsinβ=1∴sin²α+sin²β=1∴sin²α=cos²β
∵α，β是銳角，∴sinα=cosβ，∴α=90°-β
代入（1）得：sin(90°-β)+sinβ=

2

cos20°∴

2

sin(45°+β)=

2

sin70°，
∴45°+β=70°或110°
∴β=25°或β=65°，
于是

α=25° β=65°

或

α=65° β=25°

點評：本題主要考查了一元二次根的分別于系數(shù)的關(guān)系，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題．